Подсчет числа изомеров алканов

Известно, что не существует общей формулы для подсчёта числа структурных изомеров алканов CnH2n+2. Однако можно получить много оценок сверху, то есть выражений, значение которых заведомо превосходит число изомеров при любом n. Предложите одну из таких оценок и обоснуйте её выбор исходя из структурных соображений.

Решение

Обозначим число структурных изомеров алкана CnH2n+2 через ƒ(n). Самый простой способ получить неравенство для этой функции напоминает метод математической индукции. Метан имеет всего один изомер, поэтому ƒ(1)=1. Далее, пусть у нас есть все изомеры состава Cn-1H2(n-1)+2. Добавляя по очереди к каждому атому углерода ещё один атом углерода (с нужным числом атомов водорода) мы получим все изомеры состава CnH2n+2. При этом некоторые из полученных изомеров будут совпадать друг с другом, следовательно, ƒ(n)≤(n-1)ƒ(n-1). Если начальное условие ƒ(1)=1, то получим следующую (правда, грубую) оценку для числа изомеров: ƒ(n)≤(n-1)!. Эта оценка справедлива при всех n.

Изложенный выше индуктивный процесс построения изомеров продемонстрируем на примере построения изомеров бутана исходя из пропана. Для изображения углеводородов ограничимся углеродным скелетом:

Изомеры алканов

Видно, что из трёх полученных структур две совпадают друг с другом (верхняя и нижняя), поэтому ƒ(4)<3ƒ(3).

Более точную оценку для ƒ(n) можно получить, если начинать процесс построения изомеров не с метана, а с более сложного алкана с известным числом изомеров. Например, существуют три углеводорода состава C5H12, поэтому ƒ(5)=3. Если воспользоваться полученным выше неравенством ƒ(n)≤(n-1)ƒ(n-1), то получим: ƒ(n)≤(n-1)(n-2)×…×6×5ƒ(5)=3(n-1)!/4!=(n-1)!/8. Это более точная оценка, чем ƒ(n)≤(n-1)!, зато она применима не при всех n, а только при n≥5.

Наконец, если начинать построение изомеров с m-го углеводорода CmH2m+2, для которого известно число изомеров ƒ(m), то можно получить оценку, справедливую при n≥;5: ƒ(n)≤ƒ(m)(n-1)!/(m-1)!, например при n≥20 ƒ(n)≤366319(n-1)!/19!<(n-1)!/3,32×1011.

Все приведённые оценки весьма грубы. Для их уточнения необходимо каким-либо образом учитывать повторяющиеся структуры при переходе от Cn-1H2(n-1)n+2 к CnH2n+2.

[свернуть]
Дополнительная информация

Задача V соросовской олимпиады школьников 1999

[свернуть]

Добавить комментарий